Folgenkonvergenz und Cauchy-Folgen

Es ist tatsächlich so, dass alle Cauchy-Folgen in vollständigen metrischen Räumen konvergieren. In Panel 2 wird andeutungsweise die Definition der Cauchy-Folgen gegeben.

Wieder mal Wikipedia:

Viel anderes muss man dazu nicht mehr sagen. Das meiste wussten wir ja schon (bzw. mussten es mal selber erleben -- sigh) .

Konvergenz

Eigentlich erklärt Wikipedia das fast genauso:

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (a_n) in X heißt konvergent gegen den Grenzwert a wenn gilt:

Ich muss zugeben, dass das Beispiel mit dem Rumkriegen eines Mädels nicht uneingeschränkt passt (weil die Anzahl der Folgenglieder nicht beschränkt ist). Allerdings kann ich mir schon vorstellen, dass manch eine schon mal das Gefühl hatte unendlich lange vollgelabert zu werden.

Achtung: Neben dem Grenzwert haben manche Folgen auch noch andere Häufungspunkte:
Ich habe mich schon mal den ganzen Abend mit so einer unterhalten und am Ende ist sie dann doch mit einem anderen weg. Wenn es um Konvergenz geht, sollte man also nicht immer nur nach lokalen Optima suchen ;-).

Metrik

Wikipedia erklärt eine Metrik etwas anders:

Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung heißt Metrik, wenn für beliebige Elemente x, y und z von X die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. (identische Punkte haben Abstand 0),
2. (nichtidentische Punkte haben nicht Abstand 0),
3. (Symmetrie),
4. (Dreiecksungleichung)
   

Manchmal braucht man allerdings auch ein paar Beispiele, um zu verstehen, was gemeint ist.

• Die Brad-Pitt-Metrik wäre hier wie die euklidische Metrik. Der Aufwand, den er für ein Date betreiben muss, wird immer kleiner, je näher er dem Mädel kommt (er wurde 1995 und 2000 zum Sexiest Man Alive gewählt).
  

• Bei Peter und Paul würde ich eher mit der trivialen Metrik ansetzen. Für die beiden ist der Aufwand immer gleich groß, egal wen sie angraben.