Funktionalanalysis - Mathematik

Folgenkonvergenz und Cauchy-Folgen

2008-06-28T17:13:00.005+02:00

Es ist tatsächlich so, dass alle Cauchy-Folgen in vollständigen metrischen Räumen konvergieren. In Panel 2 wird andeutungsweise die Definition der Cauchy-Folgen gegeben.

Wieder mal Wikipedia:

Viel anderes muss man dazu nicht mehr sagen. Das meiste wussten wir ja schon (bzw. mussten es mal selber erleben -- sigh) .

Konvergenz

2008-06-28T16:12:00.003+02:00

Eigentlich erklärt Wikipedia das fast genauso:

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (a_n) in X heißt konvergent gegen den Grenzwert a wenn gilt:

Ich muss zugeben, dass das Beispiel mit dem Rumkriegen eines Mädels nicht uneingeschränkt passt (weil die Anzahl der Folgenglieder nicht beschränkt ist). Allerdings kann ich mir schon vorstellen, dass manch eine schon mal das Gefühl hatte unendlich lange vollgelabert zu werden.

Achtung: Neben dem Grenzwert haben manche Folgen auch noch andere Häufungspunkte:
Ich habe mich schon mal den ganzen Abend mit so einer unterhalten und am Ende ist sie dann doch mit einem anderen weg. Wenn es um Konvergenz geht, sollte man also nicht immer nur nach lokalen Optima suchen ;-).

Metrik

2008-06-01T20:06:00.005+02:00

Wikipedia erklärt eine Metrik etwas anders:

Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung heißt Metrik, wenn für beliebige Elemente x, y und z von X die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(identische Punkte haben Abstand 0),
(nichtidentische Punkte haben nicht Abstand 0),
(Symmetrie),
(Dreiecksungleichung)

Manchmal braucht man allerdings auch ein paar Beispiele, um zu verstehen, was gemeint ist.

Die Brad-Pitt-Metrik wäre hier wie die euklidische Metrik. Der Aufwand, den er für ein Date betreiben muss, wird immer kleiner, je näher er dem Mädel kommt (er wurde 1995 und 2000 zum Sexiest Man Alive gewählt).

Bei Peter und Paul würde ich eher mit der trivialen Metrik ansetzen. Für die beiden ist der Aufwand immer gleich groß, egal wen sie angraben.

Sexy teen with cousin

2008-04-16T15:47:00.003+02:00

Der Titel des Posts hört sich mit "Sexy teen with cousin" etwas themen-fremd an. Tatsächlich hat dieser Post auch herzlich wenig mit Funktionalanalysis zu tun. Ich bin der Meinung, man sollte sich auch mal etwas Abwechslung gönnen und z.B. in die Zahlentheorie hinüber schauen.

Dort gibt es die folgenden Konstruktionen, die mein hier dargestelltes Ergebnis motiviert haben:

sexy primes: Paare von Primzahlen, deren zweites Elemente um 6 größer ist, als das erste (der Name kommt aus dem Lateinischen: "sex" (lat. sechs) [1]).
cousin primes: wie oben, aber mit einem Abstand von 4 [2]

Mein Beitrag zur Mathematik ist die Identifikation der einzigen teen Primzahl, welche Basis eines sexy prime und cousin prime Paares ist.

Es ist die Zahl 13 wobei (13, 19) sexy prime und (13, 17) cousin prime ist. Es gibt keine kleinere oder größere Zahl mit diesen Eigenschaften. Beweis durch Nachrechnen :-) [wegen "teen" nur Primzahlen 13 <= p <=19 zu prüfen]. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die erste Person bin, die diese Eigenschaften bei einer Zahl erfolgreich identifiziert und veröffentlicht hat. Das lässt sich im Moment schlecht prüfen, aber es sieht alles so aus, als ob diese Thematik schon sehr lange in der Wissenschaft diskutiert wird (anfängliche Recherchen haben bei den Suchbegriffen 'sexy teen with cousin' ungefähr 328.000 Suchergebnisse gefunden).

Für das Thema meiner Diplomarbeit in Informatik scheinen sich viel weniger Leute zu interessieren, bei der Eingabe von 'uml "semantisches mapping"' werden nur fünf Ergebnisse gefunden...

Vielleicht sollte ich zur Mathematik wechseln? Falls also ein(e) Mathematiker(in) interessiert ist, von mir ein Paper co-autoren zu lassen, bitte melden (niedrige Erdös-Nummer erwünscht).

Schallplatten klauen

2008-04-05T22:15:00.003+02:00

Das dumme ist, dass Banach selbst natürlich auch nie mehr in sein Zimmer kommen wird, da vollständige normierte Vektorräume auch immer abgeschlossen bleiben werden.
Eigentlich sollte der Satz von Hahn-Banach auch nur für dreidimensionale Vektorräume gelten (damals dachte man, das reiche aus). Weil Banach aber nicht mehr nach Hause konnte und Hahn es im Pool so schön fand, haben die beiden weitergemacht...

Dicht werden

2008-04-04T13:16:00.002+02:00

Sei (X, d) metrischer Raum. D Teilmenge X heißt dicht in Y Teilmenge X wenn:

In jeder Epsilon-Umgebung aller Punkte von Y liegt auch ein Punkt von D.

Peter und Paul (Arzela und Ascoli)

2008-04-02T10:27:00.002+02:00

Ein paar neue Charaktere kommen noch dazu. Richtig mathematisch ist das noch nicht, aber die beiden werden für den Plot benötigt.

Eigentlich ist es ja ziemlich unterste Schublade, sich über Namen lustig zu machen...

An dieser Stelle mal ein kleines "sorry" von meiner Seite, aber wir leben in einer Zeit, in der jeder Informatiker, der etwas auf sich hält, irgendwann mal eine Referenz auf Ninjas machen muss.

Hermitesche Form

2008-03-30T19:58:00.004+02:00

Die hübsche Blondie hat da wohl hermitesch mit einer durch Erreger der Herpesviridae Familie ausgelösten Infektion verwechselt. Übrigens wird davon ausgegangen, dass 85% der Bevölkerung mit dem Virus HSV-1 infiziert sind, der unter anderem die störenden Lippenbläschen verursachen kann.
Aber wie es bei Blondie passiert war, wollen wir dann doch wissen:

Die Hermitesche Form ist eine Abbildung von zwei Elementen aus einem Vektorraum in den Körper der komplexen Zahlen.
Wie Blondi erklärt, ist sie tatsächlich:

linear im ersten Argument
semilinear im zweiten Argument (herausgezogenes Skalar wird komplex konjugiert)
und bei Vertauschung der Komponenten wird auf den komplex konjugierten Wert abgebildet

Paul Erdös

2008-03-29T14:17:00.002+01:00

Gut, eigentlich hat das nichts mit dem Thema zu tun. Ich hatte aber ein Seminar in Diskreter Mathematik und habe dort das Phänomen Paul Erdös kennen gelernt :-).

Er ist wirklich viel rumgekommen:

Er reiste immer von Universität zu Universität, um mit Mathematikern zusammenzuarbeiten: er veröffentlichte ca. 1500 gemeinsame Artikel, soviel wie kein anderer.

Und das mit den Drogen steht auch auf wikipedia:

Er schlief nur vier bis fünf Stunden und putschte sich mit Kaffee und Benzedrin auf, einem Amphetamin.

Charaktere

2008-03-29T11:02:00.003+01:00

Hier ist der erste Comic. Ich hoffe, dass noch ein paar folgen werden.

So viel zu dem, an was ich mich noch erinnern kann. Ich weiß noch, dass es einen Satz von Hahn-Banach gab und irgendwas von Hilbert- und Prä-Hilbert-Räumen. Dann gab es da noch den Dualraum, aber das wird mich wohl nicht durch die Prüfung bringen.

Hintergrund

2008-03-29T10:00:00.000+01:00

Hintergrund des kleinen Blogs ist, dass ich bald eine Prüfung in Funktionalanalysis habe. Ich muss irgendwann dafür lernen. Aus Sicht eines Informatikers ist das aber alles leider total abgedrehter Krams.
Dieser Blog mit den Comics soll ein bisschen helfen, diesen "Krams" zu visualisieren :-). Ich habe nicht den Anspruch, dass die versteckten Referenzen in den Bereich der Mathematik korrekt sind. Ich würde mich aber trotzdem über Kommentare freuen, die dies berichtigen.

Warum leitet Marie Cauchy diese Schule? Die Person muss natürlich ordentlich qualifiziert sein. Ich fand es lustig, dass der Mathematiker Cauchy zwei Töchter hatte und sie wohl der Einfachheit halber beide Marie nannte :-). Cauchy selber sollte nicht der Leiter sein, da die Aussicht, vielleicht mal mit einem alten Mathematiker im Dualraum konvergieren zu dürfen, dann doch nicht so verlockend ist.